Réacteurs sièges de réactions consécutives
On étudie la réaction en phase liquide A → R → S. La décomposition de A en R suit une loi cinétique du premier ordre par rapport au réactif. Il en est de même pour la seconde réaction.
Question
On met en œuvre cette réaction dans un réacteur parfaitement agité continu alimenté en réactif A. On constate en faisant varier le temps de passage, que le rendement opératoire \(Y_{R/A}\) passe par un maximum pour un temps de passage de 0,577 min. Sachant que la constante de vitesse de la première réaction est de 3 min-1, déterminer la constante de vitesse de la seconde réaction.
Indice
Écrire le bilan en A puis le bilan en R sur le RPA afin d'obtenir les expressions des concentrations en A et en R en fonction du temps de passage. Remplacer la concentration de A dans le second bilan par son expression issue du premier bilan (et ainsi obtenir une expression de la concentration de R en fonction des constantes de vitesse, du temps de passage et de la concentration de A à l'entrée du réacteur).
Indice
En déduire l'expression du rendement global, puis le dériver afin d'obtenir une équation en temps de passage correspondant au maximum de rendement global. Connaissant la valeur de ce temps de passage, calculer la constante de vitesse recherchée.
Résultat
\(k_2 =\) 1 min-1
Solution
Le bilan en A s'écrit \(Q_v \cdot C_{A0} - k_1 \cdot C_A \cdot V_{RPA} = Q_v \cdot C_A\), d'où \(C_A = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}}\)
Le bilan en R s'écrit \(0 + \left( k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R \right) \cdot V_{RPA} = Q_v \cdot C_R\), d'où \(C_R = C_A \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}} = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}} \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}}\)
Ainsi \(Y_{R/A}^{RPA} = \frac{C_R}{C_{A0}} = \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)}\)
On dérive :
\(\frac{\mathrm{d}Y_{R/A}^{RPA}}{\mathrm{d}\tau_{RPA}} = \frac{k_1 \cdot \left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right) - k_1 \cdot \tau_{RPA} \cdot \left[ k_1 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right) + k_2 \cdot \left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \right]}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2} = k_1 \cdot \frac{1 +\left( k_1 + k_2 \right) \cdot \tau_{RPA} + k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2 - k_1 \cdot \tau_{RPA} - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2 - k_2 \cdot \tau_{RPA} - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2} = k_1 \cdot \frac{1 - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2}\)
Le rendement opératoire \(Y_{R/A}\) passe par donc par un maximum pour un temps de passage tel que \(1 - k_1 \cdot k_2 \cdot {\tau_{RPA}}^2 = 0\), où \(\tau_{RPA} =\) 0,577 min.
D'où \(k_2 = \frac{1}{k_1 \cdot {\tau_{RPA}^{min}}^2} =\) 1 min-1
On a alors \(Y_{R/A}^{RPA} =\) 0,402
Question
On met à présent en œuvre cette réaction dans un réacteur piston. Déterminer les coordonnées (rendement opératoire & temps de passage) du maximum de production de R.
Indice
Écrire le bilan en A sur une tranche de réacteur piston, puis faire l'intégration afin d'obtenir les expressions de la concentration en A en fonction du temps de passage.
Indice
Écrire le bilan en R sur une tranche de réacteur piston, y remplacer l'expression de la concentration en A obtenue précédemment, afin d'établir l'équation différentielle permettant de remonter à la concentration en R en fonction du temps de passage.
Indice
Résoudre cette équation différentielle (du premier ordre avec second membre).
Indice
En déduire l'expression du rendement global, puis dériver cette expression afin de déterminer les coordonnées du maximum de production de R.
Résultat
Au maximum de production de R dans un réacteur piston, le rendement opératoire est de 57,7% et le temps de passage de 0,549 min.
Solution
Le bilan en A s'écrit \(Q_v \cdot \mathrm{d}C_A = - k_1 \cdot C_A \cdot \mathrm{d}V\), d'où \(C_A = C_{A0} \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right)\)
Le bilan en R s'écrit \(Q_v \cdot \mathrm{d}C_R = \left( k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R \right) \cdot \mathrm{d}V\), d'où \(\frac{\mathrm{d}C_R}{\mathrm{d}\tau} = k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R\)
Soit \(\frac{\mathrm{d}C_R}{\mathrm{d}\tau} + k_2 \cdot C_R = k_1 \cdot C_A\), qui est une équation différentielle du premier ordre avec second membre. L'équation sans second membre admet une solution de la forme \(C_R = a \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right)\).
L'équation complète a une solution particulière de la forme \(C_R = b \cdot C_A\) ; ainsi \(b \cdot \frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}\tau} + b \cdot k_2 \cdot C_A = k_1 \cdot C_A = b \cdot \left( - k_1 \cdot C_A \right) + b \cdot k_2 \cdot C_A\), d'où \(b =\frac{k_1}{k_2 - k_1}\)
La solution de l'équation est donc du type \(C_R = a \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) + \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right)\)
Or à l'entrée (\(\tau_{piston} = 0\)), on a \(C_R = 0\) ; donc \(0 = a + \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0}\)
La solution de l'équation est finalement \(C_R = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)
Par conséquent, \(Y_{R/A}^{piston}=\frac{C_R}{C_{A0}} = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)
On dérive : \({\left. \frac{\mathrm{d}Y_{R/A}}{\mathrm{d}\tau} \right|}_{piston} = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot \left[ - k_1 \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau \right) + k_2 \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau \right) \right]\)
On a donc un maximum pour \(k_1 \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston}^{max} \right) = k_2 \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston}^{max} \right)\)
Soit \(\tau_{piston}^{max} = \frac{\ln \frac{k_1}{k_2}}{k_1 - k_2} =\) 0,549 min ; alors \(Y_{R/A}^{piston} =\) 0,577
Question
Le prix d'une mole de A est de 5 euros, tandis que le coût de fonctionnement du réacteur est de 10 euros par m3 et par minute. Dans les deux cas (RPA et piston), calculer le prix de revient du produit R, sachant que le réacteur traite 10 moles de A par minute et que la concentration molaire de la solution alimentant le réacteur étant de 0,5 mole de A par litre.
Quel est le dispositif le mieux adapté ?
Indice
Expliciter le prix de revient de R.
Indice
Y remplacer l'expression de la concentration de R en RPA et calculer le prix de revient de R en RPA.
Indice
Faire de même en réacteur piston.
Résultat
12,5 €/mol de R en RPA & 8,7 €/mol de R en réacteur piston, qui est donc le plus économique
Solution
Le prix de revient de R (en euro par mol de R) est \(\mathcal{P} = \frac{5 \cdot F_{A0} + 10 \cdot V}{F_R} = \frac{5 \cdot C_{A0} +10 \cdot \tau}{C_R}\)
En RPA, \(C_R = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}} \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}}\)
Donc \(\mathcal{P}_{RPA} = \left( 5 + 10 \cdot \frac{\tau_{RPA}}{C_{A0}} \right) \cdot \frac{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)}{k_1 \cdot \tau_{RPA}}\)
En réacteur piston, \(C_R = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)
Donc \(\mathcal{P}_{piston} = \frac{5 \cdot C_{A0} + 10 \cdot \tau_{piston}}{\frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]} = \left( 5 +10 \cdot \frac{\tau_{piston}}{C_{A0}} \right) \cdot \frac{k_2 - k_1}{k_1 \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]}\)
Soit 12,5 €/mol de R en RPA & 8,7 €/mol de R en réacteur piston.
Le réacteur piston est donc le plus économique.