Décomposition de l'acétaldéhyde dans un réacteur tubulaire

On étudie la décomposition à la pression atmosphérique de l'acétaldéhyde dans un réacteur tubulaire à marche isotherme (518°C) sans inerte : CH3CHO → CH4 + CO

Le réacteur a un diamètre de 3,3 cm et une longueur de 80 cm. La cinétique est d'ordre 2 par rapport à l'acétaldéhyde et la constante de vitesse vaut 0,33 L s-1 mol-1.

Question

Quel débit faut-il utiliser pour obtenir une conversion est de 35% ?

Résultat

16 L h-1

Solution

CH3CHO

→ CH4

+ CO

total

entrée

\(F_{A0}\)

0

0

\(F_{A0}\)

n'importe où dans le réacteur

\(F_{A0} \cdot (1-X_A)\)

\(F_{A0} \cdot X_A\)

\(F_{A0} \cdot X_A\)

\(F_{A0} \cdot (1+X_A)\)

Le bilan en acétaldéhyde (noté A) sur une tranche de réacteur tubulaire s'écrit :

\(-r \cdot \mathrm{d}V = \mathrm{d}F_A = -F_{A0} \cdot \mathrm{d}X_A\)

On suppose que les gaz peuvent être considérés comme parfaits, donc \(C_j = \frac{F_j}{F_{total}} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T}\).

La loi de vitesse est d'ordre 2 par rapport à l'acétaldéhyde, soit \(r = k \cdot \left( \frac{F_A}{F_{total}} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)^2\)

D'où \(-k \cdot {\left( \frac{1-X_A}{1+X_A} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot \mathrm{d}V = -F_{A0} \cdot \mathrm{d}X_A\), soit \(\frac{k}{F_{A0}} \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot \mathrm{d}V = {\left( \frac{1+X_A}{1-X_A} \right)}^2 \cdot \mathrm{d}X_A\)

Qu'il faut intégrer : \(\frac{k}{F_{A0}} \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot V = \int\limits_{0}^{X_A^s}{\left( \frac{1+X_A}{1-X_A} \right)}^2 \cdot \mathrm{d}X_A\)

Pour effectuer cette intégration, posons \(x = 1 - X_A\), soit \(X_A = 1 - x\) et \(\mathrm{d}x = -\mathrm{d}X_A\). Lorsque \(X_A =\) 0, \(x =\) 1, l'intégrale devient donc :

\(\frac{k}{F_{A0}} \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot V = -\int\limits_{1}^{1-X_A^s}{{\left( \frac{2-x}{x} \right)}^2 \cdot \mathrm{d}x = -\int\limits_{1}^{1-X_A^s}{\frac{4 - 4 \cdot x + x^2}{x^2}} \cdot \mathrm{d}x} = -\int\limits_{1}^{1-X_A^s}{\left( \frac{4}{x^2} - \frac{4}{x} +1 \right) \cdot \mathrm{d}x} = 4 \cdot \left[ \frac{1}{x} \right]_{1}^{1-X_A^s} + 4 \cdot \left[ \ln \ x \right]_{1}^{1-X_A^s} - \left[ x \right]_{1}^{1-X_A^s} = 4 \cdot \left( \frac{1}{1-X_A^s} - 1 \right) + 4 \cdot \ln \ \frac{1-X_A^s}{1} - \left( 1 - X_A^s -1 \right) = 4 \cdot \left( \frac{1-1+X_A^s}{1-X_A^s} \right) + 4 \cdot \ln \ \frac{1-X_A^s}{1} + X_A^s\)

Finalement \(\frac{k}{F_{A0}} \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot V = \frac{4 \cdot X_A^s}{1-X_A^s} + 4 \cdot \ln \ \left( 1-X_A^s \right) +X_A^s\)

Le volume du réacteur vaut : \(V = L \cdot \frac{\pi \cdot \varnothing^2}{4} =\) 0,684 L. Et \(F_{A0} =\frac{k \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot V}{\frac{4 \cdot X_A^s}{1-X_A^s} + 4 \cdot \ln \ \left( 1-X_A^s \right) +X_A^s} =\) 6,87 10-5 mol s-1

Ou encore, comme \(C_{A0} = \frac{F_{A0}}{Q_{v0}}\), \(Q_{v0} = \frac{F_{A0}}{C_{A0}} = \frac{k \cdot {\left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right)}^2 \cdot V}{\frac{4 \cdot X_A^s}{1-X_A^s} + 4 \cdot \ln \ \left( 1-X_A^s \right) +X_A^s} \cdot \left[ \frac{F_{A0}}{F_{A0}} \cdot \frac{R \cdot T}{P_{totale}} \right]\)

D'où, \(Q_{v0} = \frac{k \cdot \left( \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \right) \cdot V}{\frac{4 \cdot X_A^s}{1-X_A^s} + 4 \cdot \ln \ \left( 1-X_A^s \right) + X_A^s} =\) 4,46 10-6 m3 s-1, soit 16 L h-1

Remarque

Ce réacteur est très loin de respecter les critères d'un réacteur piston : le rapport \({L}/{\varnothing}\) vaut seulement 24, la vitesse est seulement de 5 mm s-1 et le nombre de Reynolds de l'ordre de 115 (la masse molaire de l'acétaldéhyde étant de 44 g/mol, la masse volumique de l'alimentation vaut 0,7 kg m-3 ; la viscosité d'un gaz est de l'ordre de 10-6 Pa s).

Solution en vidéo

GRC - exercice d'application : décomposition de l'acétaldéhyde dans un réacteur tubulaire
Informations[1]