Propriétés de la fonction DTS
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Considérons le signal mesuré en sortie du système, comme illustré sur la figure ci-contre.
Réponse à une impulsion : la fonction de distribution E
La fonction de distribution des temps de séjour[3] \(E\) possède les propriétés usuelles des distributions. En particulier on peut définir les moments de cette distribution.
Définition : Moments de la distribution
Le moment[4] d'ordre \(n\) de la fonction de distribution des temps de séjour est :
\(\mu_n = \int\limits_{0}^{\infty}{t_s^n \cdot E\ \left(t_s \right) \cdot \mathrm{d}t_s}\)
Le moment d'ordre 0, est le facteur de normation. Il est unitaire puisque \(E\ (t_s) = \frac{C\ (t_s)}{\int\limits_0^{\infty}{C\ (t) \cdot \mathrm{d}t}}\) :
\(\mu_0 = 1\)
Le moment d'ordre 1 représente la moyenne de la distribution. Il est relié au temps de séjour moyen[5] \(\overline{t_s}\) par :
\(\overline{t_s} = \frac{\mu_1}{\mu0} = \mu_1\)
Le moment d'ordre 2 représente l'étalement autour du temps de séjour moyen. Il est lié à la variance \(\sigma\) par :
\(\sigma = \frac{\mu_2}{\mu_0} - \left( \frac{\mu_1}{\mu_0} \right)^2 = \mu_2 - \mu_1^2\)
Le moment d'ordre 3 représente l'asymétrie de la distribution et le moment d'ordre 4 son aplatissement.
Remarque : Réponse à un échelon : la fonction F
La fonction \(F\) est simplement l'intégrale de la fonction de distribution des temps de séjour \(E\), elle apporte donc la même information. La méthode de mesure de la DTS[6] par injection échelon est donc dite "méthode intégrale".
\(F\ (t_s) = \int\limits_{0}^{t_s}{E\ (t) \cdot \mathrm{d}t}\)
Ceci se retrouve simplement en se rappelant que l'impulsion est la fonction dérivée de l'échelon.
