Cas d'un réacteur ouvert en régime permanent

Dans un réacteur ouvert, en régime permanent, ce bilan enthalpique devient : \(Q_m^e \cdot \mathrm{H}^e + \phi = Q_m^s \cdot \mathrm{H}^s\)

Si l'enthalpie de mélange est négligeable : \(Q_m \cdot \mathrm{H} = \sum\limits_{j}{Q_{m,j} \cdot \mathrm{H}_j}\)

Par conséquent, \(\sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^s \cdot \mathrm{H}_j^s}\)

Comme nous l'avons vu au premier chapitre, pour chaque constituant \(j\) : \(F_j = F_{j0} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}\), où \(F_0\) est le débit molaire d'actifs en entrée.

On a donc : \(Q_{m,j}^s = F_j^s \cdot M_j = Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}\) (où \(M_j\) est la masse molaire du constituant \(j\))

D'où : \(\sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{\left( Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i} \right) \cdot H_j^s}\), soit \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot H_j^s} \right) \cdot X_i}\)

Puisque le produit de la masse molaire \(M\) par l'enthalpie massique \(\mathrm{H}\) est l'enthalpie molaire \(H\), le terme \(\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \mathrm{H}_j^s} \right)\) n'est autre que l'enthalpie molaire de réaction \(\Delta r H_i(T^s)\) de la réaction \(i\) à la température de sortie du réacteur, d'où : \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\)

En l'absence de changement d'état, et si les capacités calorifiques massiques \(\mathrm{Cp}\) peuvent être considérées comme constantes dans le domaine de température étudié, on aura : \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{Cp}_j} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0\cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\)

Notion fondamentaleBilan thermique

Finalement on obtient le bilan :

\[\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\]

RemarqueAutres écritures du bilan thermique

Ou encore : \(\phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\) (où \(Cp\) est la capacité calorifique molaire du mélange).

Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique devient :

\(\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s)\)

AttentionOn ne crée pas d'énergie !

L'enthalpie de réaction ne correspond donc en aucun cas à une création d'énergie, il s'agit d'une commodité d'écriture du bilan thermique !!!

RemarqueDifférents "chemins" pour écrire le bilan thermique

Pour se souvenir de ce bilan (et éviter de le redémontrer à chaque fois), on peut remarquer que le premier terme \(Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) = F^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right)\) correspond à l'échauffement (algébrique) des réactifs jusqu'à la température de sortie du réacteur ; le second terme \(F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\) est quant à lui le flux de chaleur nécessaire pour faire réagir les flux de matières transformées selon les diverses réactions numérotées \(i\).

L'enthalpie étant une fonction d'état, on peut aussi effectuer ce calcul est ajoutant le terme avec l'enthalpie de réaction calculée à la température d'entrée du réacteur et un terme d'échauffement (toujours algébrique) des produits de la température d'entrée à la température de sortie du réacteur. Ou encore, si l'on dispose d'une donnée sur l'enthalpie de réaction à la température \(T_1\), et en l'absence de tout changement d'état des réactifs et des produits sur toute la gamme de température \([T_1,T_e,T_s]\) :

\(\phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T_1 - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T_1) \cdot X_i} +F_{total}^s \cdot Cp \cdot \left( T^s - T_1 \right)\)

Cette expression pourra en particulier être très utile si \(T_1\) est la température de référence.

RemarqueLa marche adiabatique

La "marche adiabatique" consiste à faire fonctionner le réacteur sans échange de chaleur avec l'extérieur. Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique est : \(\phi = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = 0\)

Soit \(\frac{T^s - T^e}{X_A^s} = -\frac{\Delta r H(T^s)}{Cp}\). On appelle \(J = -\frac{\Delta r H}{Cp}\) l'élévation de température adiabatique. C'est l'élévation maximum de température que peut subir un volume réactionnel suite à une conversion \(X_A^s\). C'est enfin l'inverse de la pente de la droite \(X_A\) vs \(T\) représentant le bilan thermique.

MéthodeRésumé en vidéo sur les bilans enthalpique et thermique et leur représentation graphique

GRC : bilan thermique
Informations[1]