Cas d'un réacteur ouvert en régime permanent

Dans un réacteur ouvert, en régime permanent, ce bilan enthalpique devient : \(Q_m^e \cdot \mathrm{H}^e + \phi = Q_m^s \cdot \mathrm{H}^s\)

Si l'enthalpie de mélange est négligeable : \(Q_m \cdot \mathrm{H} = \sum\limits_{j}{Q_{m,j} \cdot \mathrm{H}_j}\)

Par conséquent, \(\sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^s \cdot \mathrm{H}_j^s}\)

Comme nous l'avons vu au premier chapitre, pour chaque constituant \(j\) : \(F_j = F_{j0} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}\), où \(F_0\) est le débit molaire d'actifs en entrée[1], \(\nu_{ij}\) le coefficient stœchiométrique[2] de l'espèce j dans la réaction numéro i et \(X_i\) l'avancement[3] de la réaction numéro i.

On a donc : \(Q_{m,j}^s = F_j^s \cdot M_j = Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}\) (où \(M_j\) est la masse molaire[4] du constituant \(j\))

D'où : \(\sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{\left( Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i} \right) \cdot H_j^s}\), soit \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot H_j^s} \right) \cdot X_i}\)

Puisque le produit de la masse molaire \(M\) par l'enthalpie massique[5] \(\mathrm{H}\) est l'enthalpie molaire[6] \(H\), le terme \(\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \mathrm{H}_j^s} \right)\) n'est autre que l'enthalpie molaire de réaction[7] \(\Delta r H_i(T^s)\) de la réaction \(i\) à la température de sortie du réacteur, d'où : \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\)

En l'absence de changement d'état, et si les capacités calorifiques massiques[8] \(\mathrm{Cp}\) peuvent être considérées comme constantes dans le domaine de température étudié, on aura : \(\phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{Cp}_j} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0\cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\)

Notion fondamentaleBilan thermique

Finalement on obtient le bilan :

\[\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\]

RemarqueAutres écritures du bilan thermique

Ou encore : \(\phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\) (où \(Cp\) est la capacité calorifique molaire[9] du mélange).

Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique devient :

\(\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s)\)

On rappelle que les capacités calorifiques sont notées : \(Cp\) lorsqu'elles sont molaires et \(\mathrm{Cp}\) lorsqu'elles sont massiques.

AttentionOn ne crée pas d'énergie !

L'enthalpie de réaction ne correspond donc en aucun cas à une création d'énergie, il s'agit d'une commodité d'écriture du bilan thermique !!!

RemarqueDifférents "chemins" pour écrire le bilan thermique

Pour se souvenir de ce bilan (et éviter de le redémontrer à chaque fois), on peut remarquer que le premier terme \(Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) = F^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right)\) correspond à l'échauffement (algébrique) des réactifs jusqu'à la température de sortie du réacteur ; le second terme \(F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}\) est quant à lui le flux de chaleur nécessaire pour faire réagir les flux de matières transformées selon les diverses réactions numérotées \(i\) à la température de sortie \(T^s\).

L'enthalpie étant une fonction d'état, on peut aussi effectuer ce calcul est ajoutant le terme avec l'enthalpie de réaction calculée à la température d'entrée du réacteur et un terme d'échauffement (toujours algébrique) des produits de la température d'entrée à la température de sortie du réacteur. Ou encore, si l'on dispose d'une donnée sur l'enthalpie de réaction à la température \(T_1\) et en l'absence de tout changement d'état des réactifs et des produits sur toute la gamme de température \([T_1,T_e,T_s]\) :

\(\phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T_1 - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T_1) \cdot X_i} +F_{total}^s \cdot Cp \cdot \left( T^s - T_1 \right)\)

Cette expression pourra en particulier être très utile si \(T_1\) est la température de référence.

RemarqueLa marche adiabatique

La "marche adiabatique" consiste à faire fonctionner le réacteur sans échange de chaleur avec l'extérieur. Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique est : \(\phi = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = 0\)

Soit \(\frac{T^s - T^e}{X_A^s} = -\frac{\Delta r H(T^s)}{Cp}\). On appelle \(J = -\frac{\Delta r H}{Cp}\) l'élévation de température adiabatique. C'est l'élévation maximum de température que peut subir un volume réactionnel suite à une conversion \(X_A^s\). C'est enfin l'inverse de la pente de la droite \(X_A\) vs \(T\) représentant le bilan thermique.

MéthodeRésumé en vidéo sur les bilans enthalpique et thermique et leur représentation graphique

GRC : bilan thermique
Informations[10]