Réacteurs à transformation continue des particules
Il s'agit des réacteurs à charge solide circulante.
Attention :
On se limitera ici au cas d'un environnement fluide homogène.
Dès qu'il y a un écoulement du solide, il existe une distribution de temps de séjour des grains.
Pour des particules de même taille,
\(\displaystyle 1 - \overline{X_B} = \int_0^{t_0} \left[ 1 - X_B(t) \right] \cdot E(t) \cdot \mathrm{d} t\)
où \(E(t)\) est la fonction distribution des temps de séjour et \(t_0\) le temps de conversion totale d'un particule unique.
Pour des particules de tailles différentes,
\(\displaystyle 1 - \overline{X_B} = \sum_{R_{0 \; min}}^{R_{0 \; max}} \left( \int_0^{t_0(R_0)} \left[ 1 - X_B(t) \right] \cdot E(t) \cdot \mathrm{d} t \right) \cdot W(R_0)\)
Cas d'un écoulement piston du solide
Pour des particules de même taille, \(\overline{X_B} = X_B(R_0,ts)\) où \(ts\) est le temps de séjour moyen.
Si \(ts > t_0\), \(\overline{X_B} = 1\).
Pour des particules de tailles différentes, \(\displaystyle 1 - \overline{X_B} = \sum_{R(t_0=ts}^{R_{max}} \left[ 1 - X_B(R_0) \right] \cdot W(R_0)\).
On commence la somme à \(t_0=ts\) car tous les grains plus petits sont totalement convertis.
Cas d'un écoulement parfaitement agité du solide mono-dispersé
Rappel :
La fonction distribution des temps de séjour est alors \(E(t) = \frac{1}{ts} \cdot \exp \left( \frac{-t}{ts} \right)\).
Dans le cas d'une limitation par le transport externe
\(X_B = \frac{t}{t_0}\) avec \(t_0 = \frac{\rho_B \cdot R}{3 \cdot \nu \cdot M_B \cdot k_D \cdot C_e} = \tau_{ext}\) « CORRIGÉ »
Donc \(\displaystyle 1 - \overline{X_B} = \int_0^{t_0} \left( 1 - \frac{t}{t_0} \right) \cdot \frac{\exp(-t/ts)}{ts} \cdot \mathrm{d} t\)
Qui donne \(\overline{X_B} = \frac{ts}{t_0} \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-t_0}{ts} \right) \right]\)
ou bien, notamment pour les conversion élevées, \(1 - \overline{X_B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t_0}{ts} - \frac{1}{3!} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^2 + \frac{1}{4!} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^3 - ...\) (qui n'est autre que le développement limité de l'exponentielle).
Dans le cas d'une limitation par le transfert interne
Pour ce cas de figure, on peut montrer que la conversion moyenne, pour les conversion élevées, est donnée par :
\(1 - \overline{X_B} = \frac{1}{5} \cdot \frac{t_0}{ts} - \frac{19}{420} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^2 + \frac{41}{4620} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^3 - 0,00149 \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^4 ...\)
En régime chimique
\(1 - \overline{X_B} = {\left( 1 - \frac{t}{t_0} \right)}^3\) avec \(t_0 = \frac{\rho_B \cdot R_0}{\nu \cdot M_B\cdot k" \cdot C_e^n} = \tau_{chim}\) « CORRIGÉ »
D'où \(\overline{X_B} = 3 \cdot \frac{ts}{t_0} - 6 \cdot { \left( \frac{ts}{t_0} \right) }^2 + 6 \cdot { \left( \frac{ts}{t_0} \right) }^3 \cdot \left[ 1 - \exp \left( \frac{-t_0}{ts} \right) \right]\)
ou encore, pour les conversion élevées, \(1 - \overline{X_B} = \frac{1}{4} \cdot \frac{t_0}{ts} - \frac{1}{20} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^2 + \frac{1}{120} \cdot {\left( \frac{t_0}{ts} \right)}^3 - ...\)