HYDRAULIQUE pour le génie des procédés

Dans le champ de pesanteur, un récipient cylindrique contenant un liquide immobile par rapport à la paroi tourne autour de l'axe vertical à la vitesse angulaire \(\omega\)^[1] constante.

Les composantes de l'accélération sont ici \(\overrightarrow{G} \left |\begin{array}{r l}&{{G}_{r}}= r\cdot {{\omega }^{2}} \\& {{G}_{\theta }} = 0 \\& {{G}_{z}}=-g\end{array}\right.\).

Par conséquent celles du gradient de pression sont \(\overrightarrow{grad} P \left| \begin{array} {r l}& \frac{\partial P}{\partial r}=\rho \cdot r\cdot {{\omega }^{2}} \\ \\& \frac{\partial P}{\partial \theta }=0 \\ \\& \frac{\partial P}{\partial z}=-\rho \cdot g \\\end{array} \right.\).

La surface libre correspond à une isobare, donc \(dP=0=\frac{\partial P}{\partial r}\cdot dr+\frac{\partial P}{\partial \theta }\cdot d\theta +\frac{\partial P}{\partial z}\cdot dz\)

Soit \(\rho \cdot r\cdot {{\omega }^{2}}\cdot dr-\rho \cdot g\cdot dz=0\)donc \(r\cdot {{\omega }^{2}}\cdot dr=g\cdot dz\) ou encore \(dz=\frac{{{\omega }^{2}}}{g}\cdot r\cdot dr\) qui peut être intégré :

\(z=\frac{{{\omega }^{2}}}{g}\cdot \frac{{{r}^{2}}}{2}+cste\), c'est l'équation d'un paraboloïde de révolution autour de l'axe vertical