HYDRAULIQUE pour le génie des procédés

environ neuf heures

Le débit volumique s'écoulant à travers l'orifice est : \({{Q}_{v}}(t)=\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h(t)}\) (où \(s\) est la section de l'orifice).

Le volume vidangé pendant un temps \(dt\) est \({{Q}_{v}}\cdot dt=-S\cdot dh\) (où \(S\) est la section du réservoir) : on égale le volume d'eau \({{Q}_{v}}\cdot dt\) qui s'écoule par l'orifice pendant le temps \(dt\) et le volume d'eau \(-S\cdot dh\) correspondant à la baisse de niveau \(dh\) dans le réservoir. Le signe moins est nécessaire car \(dh\) est négatif (puisque le niveau dans le réservoir baisse) alors que l'autre terme (\({{Q}_{v}}\cdot dt\)) est positif.

Ainsi \(\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h(t)}\cdot dt=-S\cdot dh\), dont on peut séparer les variables : \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot dt=\frac{dh}{\sqrt{h}}={{h}^{-{}^{1}/{}_{2}}}\cdot dh\).

On peut alors intégrer \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot \int\limits_{0}^{t}{dt}=\int\limits_{0}^{h}{{{h}^{-{}^{1}/{}_{2}}}\cdot dh}\), soit \(\frac{\kappa \cdot s\cdot \sqrt{2\cdot g}}{-S}\cdot t=-2\cdot {{h}^{{}^{1}/{}_{2}}}\).

D'où \(t=\frac{2\cdot S}{\kappa \cdot s}\cdot \sqrt{\frac{h}{2\cdot g}}=\frac{2\times 4}{0,62\times 4\cdot {{10}^{-4}}}\times \sqrt{\frac{20}{2\times 9,81}}=\) 32570 s, soit environ 9 h.